数值微分问题是反问题研究的一个重要分支，它的基本定义是：已知近似函数在若干点的离散函数值，求它在某点的导数或高阶导数的近似值。数值微分问题是在Hadamard意义下是不适定问题，也就是说，实际观测数据的微小误差也可能引起其近似逼近结果的巨大误差，因此，处理这类问题需要采取特殊的方法才能得到相对合理的结果。
在数学模型以及实际问题中，数值微分问题是一类常见的数学问题，其常见的处理方法有：差分法和广义差分法、磨光法、基于Tikhonov正则化理论的方法以及积分算子法。在此类问题的研究中，许多学者已经利用广义差分法和基于Tikhonov正则化理论的方法对一阶、二阶数值微分问题作出了相应的研究，而利用积分算子法对于高阶甚至任意阶数值微分问题还鲜见探讨。积分算子法有可以给出一致的误差估计和计算相对简单的优点，并且当已知函数的光滑性加强时，通过构造相应的积分算子，可以提升算子误差的精度。基于积分算子的上述特性，本文的核心就是探索新的积分算子。
在引入新积分算子前，我们介绍了上述几种常见的数值微分处理方法，简单描述了其构造过程，给出了其误差估计并给予了一定的证明；详细地概述积分算子法处理数值微分问题的发展过程；核心内容则是在基于正交多项式的相关知识背景下，基于Groetsch的思想方法，构造出了新的积分算子。其关键思想在于：利用正交性，消去了低阶导数项和常量项，仅仅保留所需高阶导数项和余项，从而提升了算子的精度，进而使其可以达到稳定逼近于近似已知函数任意阶导数的目的；将构造的新算子运用于实际数值微分问题中，并给出了相应的误差估计；最后，通过MatlabR2012a软件，给出了利用本文的积分算子方法计算数值微分问题的数值实验，给出了对近似函数逼近的效果图，同时给出了逼近效果相对误差表，表明了新算子的有效性和可行性。
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